[1647] 도시 분할 계획(C++)

문제

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동물원에서 막 탈출한 원숭이 한 마리가 세상구경을 하고 있다. 그러다가 평화로운 마을에 가게 되었는데, 그곳에서는 알 수 없는 일이 벌어지고 있었다.

마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있는 편리한 길이다. 그리고 각 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다.

마을의 이장은 마을을 두 개의 분리된 마을로 분할할 계획을 가지고 있다. 마을이 너무 커서 혼자서는 관리할 수 없기 때문이다. 마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다. 각 분리된 마을 안에 있는 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다는 뜻이다. 마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.

그렇게 마을의 이장은 계획을 세우다가 마을 안에 길이 너무 많다는 생각을 하게 되었다. 일단 분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다. 그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 하면서 길을 더 없앨 수 있다. 마을의 이장은 위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다. 이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

 

입력

첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다. N은 2이상 100,000이하인 정수이고, M은 1이상 1,000,000이하인 정수이다.

그 다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A B C 세 개의 정수로 주어지는데 A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비가 C (1 ≤ C ≤ 1,000)라는 뜻이다.

 

 

출력

첫째 줄에 없애고 남은 길 유지비의 합의 최솟값을 출력한다.

 

 

알고리즘

• 그래프
• 최소 스패닝 트리(MST)
• Union-Find

 

 

해결 방법

최소 스패닝 트리(MST)의 개념과 구현 방법을 알고 있으면 나름 쉽게 풀 수 있는 문제이다.

MST을 구현하는 방법은 크게 크루스칼 알고리즘과 프림 알고리즘이 있는데 개인적으로 나는 크루스칼이 더 구현하기 쉬운 것 같아서 이걸로 구현했다.

MST의 개념과 구현 방법은 아래의 글을 참고하자.

최소 신장 트리(Minimum Spanning Tree, MST)

 

크루스칼 알고리즘은 간선의 가중치를 기준으로 정렬한 후, 모든 노드가 연결되면서 사이클이 형성되지 않도록 간선을 추가하는 방식이다.(삭제도 가능)

따라서 먼저 간선의 정보를 벡터에 입력받고 가중치를 기준으로 내림차순 정렬을 해줬다.

그다음 벡터의 원소를 순차적으로 탐색하면서 사이클이 형성되지 않는다면 가중치를 정답에 더해주면 된다.

 

이때 사이클이 형성되지 않음을 체크하기 위해 유니온 파인드를 사용해야 한다. MST와 유니온 파인드는 거의 짝꿍이라고 생각하면 될 것 같다.

벡터의 원소를 모두 탐색하고 나면 이제 모든 정점이 방문되면서 사이클이 형성되지 않는 최소 스패닝 트리가 만들어졌다.

 

하지만! 이 문제에서 요구하는 것은 도시를 두 그룹으로 분할하는 것이다.

문제에서 주어진 예제를 보면 어떻게 해야할지 감을 잡을 수 있는데,

이미 모든 집을 대상으로 MST를 만들어놨기 때문에 어떻게 쪼개도 각 그룹끼리는 연결되어있음이 보장된다.

우리는 가중치의 합을 최소로 만드는 것이 목표이므로 그냥 MST에서 가장 가중치가 큰 길을 제거해버리면 된다!

추가되는 간선 중 max값을 저장해뒀다가 마지막에 총 cost에서 max값만 빼주면 끝~!

 

 

내 코드

// [1647] 도시 분할 계획
/* 1. MST 구하기
   2. 남은 간선 중 최댓값 제거 -> 두 그룹 분할 */
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n, m, maxRoad, parent[100001];
long long ans;
struct Info {
    int a, b, cost;
};
vector<Info> vec;

void input()
{
    int a, b, c;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> a >> b >> c;
        vec.push_back({a, b, c});
    }
}

bool cmp(Info &A, Info &B) 
{
    return A.cost < B.cost; // cost 기준 내림차순 정렬
}

int Find(int v) 
{
    if(parent[v] == v) return v;
    else return parent[v] = Find(parent[v]);
}

void Union(int a, int b, int cost)
{
    int aRoot = Find(a);
    int bRoot = Find(b);
    if(aRoot != bRoot) {
        ans += cost;
        maxRoad = max(maxRoad, cost);
        parent[aRoot] = bRoot;
    }
}

void solve()
{
    sort(vec.begin(), vec.end(), cmp);
    for(int i = 1; i <= n; i++) { 
        parent[i] = i;
    }
    for(int i = 0; i < m; i++) {
        Union(vec[i].a, vec[i].b, vec[i].cost);
    }
    ans -= maxRoad;
    cout << ans << '\n';
}

int main(void)
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);

    input();
    solve();

    return 0;
}