[1967] 트리의 지름(C++)

문제

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트리(tree)는 사이클이 없는 무방향 그래프이다. 트리에서는 어떤 두 노드를 선택해도 둘 사이에 경로가 항상 하나만 존재하게 된다.

트리에서 어떤 두 노드를 선택해서 양쪽으로 쫙 당길 때, 가장 길게 늘어나는 경우가 있을 것이다.

이럴 때 트리의 모든 노드들은 이 두 노드를 지름의 끝 점으로 하는 원 안에 들어가게 된다.

이런 두 노드 사이의 경로의 길이를 트리의 지름이라고 한다. 정확히 정의하자면 트리에 존재하는 모든 경로들 중에서 가장 긴 것의 길이를 말한다.

입력으로 루트가 있는 트리를 가중치가 있는 간선들로 줄 때, 트리의 지름을 구해서 출력하는 프로그램을 작성하시오.

아래와 같은 트리가 주어진다면 트리의 지름은 45가 된다.

트리의 노드는 1부터 n까지 번호가 매겨져 있다.

 

 

입력

파일의 첫 번째 줄은 노드의 개수 n(1 ≤ n ≤ 10,000)이다. 둘째 줄부터 n-1개의 줄에 각 간선에 대한 정보가 들어온다.

간선에 대한 정보는 세 개의 정수로 이루어져 있다.

첫 번째 정수는 간선이 연결하는 두 노드 중 부모 노드의 번호를 나타내고, 두 번째 정수는 자식 노드를, 세 번째 정수는 간선의 가중치를 나타낸다.

간선에 대한 정보는 부모 노드의 번호가 작은 것이 먼저 입력되고, 부모 노드의 번호가 같으면 자식 노드의 번호가 작은 것이 먼저 입력된다.

루트 노드의 번호는 항상 1이라고 가정하며, 간선의 가중치는 100보다 크지 않은 양의 정수이다.

 

 

출력

첫째 줄에 트리의 지름을 출력한다.

 

 

유사 문제

[1167] 트리의 지름

 

 

해결 방법

이 문제는 dfs 두 번만 돌리면 답을 찾을 수 있는 문제이다. 각 dfs를 돌면서 지름의 양 끝을 찾는 것!

우선 이 문제에서 지름의 양 끝은 무조건 리프 노드이다.

Why? 우리는 최대한 긴 지름을 만드는 게 목적이기 때문!  그래서 가중치가 큰 간선을 최대한 많이 포함해야 한다.

위의 그림만 봐도 5 → 3 → 6을 지름으로 하는 것보다, 이 경로를 전부 포함하고 있는 9 → 5 → 3 → 6 → 12을 지름으로 하는게 훨씬 길게 만드는 방법이다.

 

그럼 모든 리프 노드를 시작점으로 해서 다른 리프 노드를 만날 때마다 정답을 업데이트하는 브루트포스 방식을 생각해볼 수 있다.

이렇게 해도 시간 초과는 나지 않는다.

노드의 개수가 최대 10000이고 리프 노드는 아무리 많아도 $2^{13}$(약 8000)이다.

따라서 $_{8000}\mathrm{C}_{2}$ < 1억이기 때문

 

그치만! 더 간단하게 푸는 방법이 있다.

시작점을 모든 리프 노드로 할 필요 없이, 루트 노드에서 가장 먼 것(가중치가 큰 것)으로 잡으면 된다.

위에서도 말했듯이 우리는 가중치가 가장 큰 경로를 찾는 게 목적이기 때문에 애초에 모든 리프 노드를 볼 필요 없이 루트 노드에서 가장 가중치가 큰 노드를 찾으면 된다.

이걸 찾기 위해 bfs를 한 번 수행하게 되고, 이렇게 찾은 노드가 지름의 한쪽 끝이 된다.

 

이렇게 첫 번째 지름의 끝을 찾았으면 반대쪽 지름의 끝을 찾으면 된다.

여기서 두 번째 bfs를 수행하게 된다. 어차피 루트 노드에 도착하면 다음에 탐색할 노드가 없어 자동으로 종료되기 때문에 bfs의 종료 조건은 따로 설정할 필요 없이 매번 지름을 업데이트해주기만 하면 된다.

두 번의 bfs가 끝나고 최종 지름을 출력하면 끝~!

 

 

내 코드

// [1967] 트리의 지름
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

int n, diameter, endNode;
bool visited[10001];
vector<pair<int, int>> trees[10001];

void input()
{
    int parent, child, cost;
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n - 1; i++) {
        cin >> parent >> child >> cost;
        trees[parent].push_back(make_pair(child, cost));
        trees[child].push_back(make_pair(parent, cost));
    }
}

void dfs(int node, int cost)
{
    visited[node] = true;
    if(cost > diameter) {
        diameter = cost;
        endNode = node;
    }

    for(int i = 0; i < trees[node].size(); i++) {
        int next = trees[node][i].first;
        if(visited[next] == false) {
            dfs(next, cost + trees[node][i].second);
        }
    }
}

void findDiameter()
{   
    dfs(1, 0); // 루트에서 가장 먼(가중치가 큰) 노드 찾기 = endNode
    diameter = 0;
    memset(visited, false, sizeof(visited));
    dfs(endNode, 0); // endNode에서 가장 먼(가중치가 큰) 노드 찾기 = 반대쪽 지름 끝
}

int main(void)
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);

    input();
    findDiameter();
    cout << diameter << '\n';

    return 0;
}